Somme des entiers positifs

Somme entiers positifs

Somme des entiers positif = -1/12 (Crédit : Elwood H. Smith)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +… = -1/12

La somme de tous les entiers positifs serait égale à un nombre rationnel, i.e. une fraction, relativement petit (1/12 ≈ 0.083) et négatif en plus. Alors, vrai ou faux ?

C’est faux naturellement. La somme de tous les entiers positifs, ou la somme des entiers naturels, tends vers l’infini, noté +∞ en mathématique. Alors pourquoi avoir écrit une telle égalité en première ligne de cette article ? Et puis pourquoi -1/12 et pas 51, ou 1038 ou -99 ou 6.3952 ou π ou  -\sqrt{31} ou… ?

D’abord pour vous faire réagir, chers lecteurs. Un article traitant de cette somme a été publié sur le site du NewYork Times en février 2014 : In the End, It All Adds Up to – 1/12. Il avait suscité près d’un million et demi de commentaires, ce qui prouve que le sujet et les découvertes déconcertantes qui lui sont liées intéressent et force à l’interrogation. Réjouissons-nous que les mathématiques attirent et fassent réfléchir.

Ensuite, car de très grands mathématiciens tels que Leonhard Euler, Bernhard Rieman et Srinivasa Ramanujan ont travaillé sur cette somme. Cela démontre que le sujet est ancien mais également complexe. On découvre aussi que la manipulation de certains outils et techniques peut conduire à des résultats tout à fait inattendus et déroutants.

Enfin, et c’est sans doute le point le plus important, la réponse à la question posée nécessite des calculs à l’aide de séries et de polynômes et le traitement de quantités infinies ou presque nulle. De tels calculs s’avèrent en fait très utiles en physique, notamment en mécanique quantique et en théorie des champs. On peut citer par exemple la renormalisation. Il s’agit d’une méthode permettant de supprimer les infinis qui apparaissent lors du calcul de certaines observables physiques, comme la masse des particules. Cette approche permet de prédire les résultats expérimentaux avec une excellente précision. Beaucoup de physiciens ont été déroutés par cette technique un peu magique.

Pour en savoir plus sur la somme des entiers naturels, je vous conseille la lecture de l’article de Xavier Buff sur le site Images des Mathématiques. Il existe aussi une multitude d’article sur Internet traitant du sujet.

Physique des Plasmas : Feuille de route 2017

La « feuille de route » pour la physique des plasmas froids, à laquelle j’ai contribué, vient de paraître : The 2017 Plasma Roadmap: Low temperature plasma science and technology, publiée dans le Journal of Physics D: Applied Physics. L’article est disponible dans l’onglet Publications.

Après une première édition parue en 2012, il était nécessaire de réaliser une mise à jour, de proposer une nouvelle perspective à moyen terme car le domaine de la physique des plasmas froids évolue rapidement et devient de plus en plus riche, complexe et interdisciplinaire. Les avancées scientifiques et technologiques du domaine dans lequel je baigne depuis plus de vingt ans ont désormais des répercussions sur de nombreux aspects de la vie quotidienne. Il est aussi acquis que les plasmas vont jouer un rôle important dans la transformation de nos sociétés et dans la réponse aux nombreux défis qui sont devant nous.

L’article couvre 19 champs disciplinaires, ou sous-domaines, et traite de thèmes tels que la conversion d’énergie, les nanomatériaux, la médecine, l’agriculture, l’aérospatial et l’environnement. Il est aussi question de théorie, de simulations numériques et de données à l’échelle atomique et moléculaire car ces champs sont les piliers sur lesquels reposent les découvertes, l’interprétation des expériences et les développements technologiques qui en découlent.

Avec mon collègue Eric Moreau de l’Université de Poitiers, nous avons rédigé le chapitre concernant le secteur de l’aérospatial. Eric s’est concentré sur le contrôle des écoulements, quant à moi j’ai imaginé l’avenir de la propulsion pour les véhicules spatiaux. Il ne s’agit nullement d’une interprétation purement personnelle qui refléterait ma vision et mes souhaits, mais d’une extrapolation objective faite à partir de la lecture de nombreux articles, de discussions avec une multitude d’experts et de la synthèse de plusieurs conférences récentes. J’espère avoir dégagé les grandes lignes de ce que sera la PE demain. On verra en 2022 si j’avais vu juste.

Je tiens à remercier chaleureusement mes collègues Mark Kushner, Uwe Czarnetzki et Peter Bruggeman  pour la confiance témoignée et le difficile travail de coordination et de publication d’un tel article.

Demain, la Terre

Il faut impérativement lire l’article écrit par le journaliste américain David Wallace-Wells publié dans le New York Magazine le 9 juillet dernier. Cet article s’intitule The Uninhabitable Earth. Tout est dans le titre…

Ce qui est décrit dans ces pages n’est hélas pas de la science-fiction, n’en déplaise à tous les sceptiques. David Wallace-Wells dresse le tableau de ce que la Terre et notre civilisation pourraient devenir à la fin du siècle si la modification du climat s’emballe. Ce qui reste tout à fait probable car les mesures prises jusqu’ici n’ont quasiment aucun impact. Et le retrait de l’Amérique des accords de Paris ne va rien arranger. Je ne pense pas que nous arriverons à limiter la hausse de la température moyenne à 2° C. Il est déjà trop tard. Mais seulement quelques degrés de plus et le glas pourrait sonner pour l’humanité, comme le décrit The Uninhabitable Earth.

Cet article a été majoritairement bien accueilli par la communauté scientifique et par le grand public. On peut certes reprocher au journaliste de mettre en avant le scénario du pire – ce que certains on fait ; lire NY Magazine – mais ce qui est dépeint n’en reste pas moins possible, envisageable à quelques décennies d’aujourd’hui.

Allons-nous finir comme ça ? Quel gâchis si tel est le cas, d’autant plus que l’on ne pourra pas dire que l’on se savait pas. Et pourtant… Je fais partie de ceux qui pense qu’il est grand temps d’expliquer aux gens les conséquences de nos actes passés et présents, sans fard, sans discours poli et édulcoré. Oui, il faut faire peur pour faire prendre conscience. Tracer des courbes et donner des chiffres ne suffit pas. Il faut des mots forts, des images marquantes pour démarrer une  » réaction en chaîne  » pour reprendre les mots de David.

Il nous reste peu de temps pour éviter le scénario de la Terre hostile, voire de la Terre inhabitable. Agissons ou nos enfants pourraient compter parmi les derniers habitants de la petite planète bleue.

Une version au format pdf de l’article de D. Wallace-Wells est disponible ici.

Eléments pour nano-satellites

Je vous invite à visiter le side CubeSatShop sur lequel on peut trouver une très large gamme de produits testés et qualifiés et de vendeurs pour les CubeSats et les nano-satellites. Une preuve de plus que le domaine des nano- et micro-satellites est en pleine révolution. On peut désormais fabriquer en kit son CubeSat et ainsi l’adapter à la mission envisagée. Une fois le CubeSat assemblé et validé, on trouvera aussi une entreprise capable de le mettre en poste sur l’orbite prévue.

On trouve également sur le site CubeSatShop des informations pertinentes et bien synthétisées sur la technologie des CubeSats, leur histoire, les avantages et les limites et les avancées récentes.

MPCS 2017

Je rentre de Bari où je participais au congrès MicroPropulsion and CubeSats après avoir passé trois jours à Toulouse dans le cadre du séminaire E×B Plasmas for Space and Industrial Applications organisé par mon collègue J.-P. Boeuf du LAPLACE à Toulouse.

Le congrès MPCS est l’un des congrès les plus exaltants auxquels j’ai participé ces dernières années. J’ai énormément appris, je reviens la tête pleine d’idées et j’ai pu constater les progrès réalisés récemment dans le domaine de la propulsion électrique pour les Cubesats, nanosats et microsatellites. Le niveau de développement technologique des propulseurs à arc sous vide (VAT) et des propulseurs Electrospray m’a particulièrement frappé. Nous avons également eu des présentations passionnantes de nos collègues Autraliens (projet QB50), Japonais (missions HODOYOSHI-4 et PROCYON avec un MIG de 20 W) et Singapouriens (recherches conduites à l’Université de Technologie de Nanyang). J’ai aussi pu rencontrer pour la première fois les chercheurs chinois qui travaillent dans le domaine de la propulsion électrique. La rapidité avec laquelle les équipes chinoises avancent est très impressionnante. De notre côté, nous avons présenté des travaux récents sur nos propulseurs de Hall miniatures (50-100 W) et sur la configuration MS à écrantage magnétique.

Les deux jours passés à Bari sous le soleil d’Italie furent très agréables. Je tiens à remercier les organisateurs du congrès MPCS et bien sûr mon ami Francesco pour les belles visites qu’il a organisé et la délicieuse cuisine italienne qu’il nous a fait découvrir.

 

Aoba Velox 3

Aoba Velox 3 est le nom d’une mission en cours qui repose sur l’un des rares CubeSats équipé d’un système de propulsion électrique. Il s’agit d’un projet commun de nanosatellite entre le Japon (Kyushu Institute of Technology, Kyutech) et Singapour (Nanyang Technological University, NTU). L’université NTU a développé le CubeSat de taille 2U et pesant 2 kg. Ce dernier est équipé d’un micro propulseur pulsé (PPT) fonctionnant avec du PTFE (Teflon).

Le nanosatellite a été lancé en décembre 2016 vers l’ISS. Il a été déposé sur une orbite basse à 400 km d’altitude en janvier 2017. Le PPT sert à compenser la force de traînée qui freine le satellite et lui fait perdre de l’altitude. Grâce à la PE, la vitesse d’Aoba Velox 3 sera maintenue à 27,000km/h et la mission devrait durer six mois, contre 3 pour une mission identique sans propulsion.

A ce jour, très peu de CubeSats ont été équipés d’un système propulsif à causes des fortes contraintes imposées en terme de puissance disponible, masse, volume, thermique et composants électroniques.
On doit cependant mentionner la mission BricSat-P, fruit d’une collaboration entre l’United States Naval Academy et l’Université George Washington. Le CubeSat de 1,5 U était équipé de 4 micro-CAT (Cathode Arc Thruster ou Vacuum Arc Thruster) développée par l’équipe de Mikael Keidar à GWU. La mission a été lancée en mai 2015. Elle a démontré l’intérêt de la PE pour les nano-satellites et a ouvert la voie à de nombreux projets de CubeSats motorisés, telle que la mission CANYVAL-X pour laquelle les deux CubeSats seront équippés de micro-CAT.

Miniaturisation en PE

ISCT100

Propulseur de Hall miniature ISCT100 opérant sous vide avec du xénon à 100 W.

Cheurs lecteurs, vous trouverez sur le site de Futura Sciences un article au sujet de la propulsion électrique écrit par Remy Decourt : Une propulsion électrique pour les satellites. (1) . Cet article est le fruit d’une interview que j’ai accordée au journaliste et qui a été suivie de plusieurs échanges. J’avais déjà eu l’occasion de travailler avec Rémy Decourt à deux reprises avant la parution de ce nouvel article de presse.

Cette fois-ci, le thème couvert est la micropropulsion pour les satellites, en particulier pour les nano-satellites, catégorie dans laquelle rentrent les CubeSats. Par définition, un nano-satellite a une masse comprise entre 1 kg et 10 kg. Les micro-satellites ont quant à eux une masse allant de 10 kg à 200 kg. Au-delà de 200 kg, on parle de mini-satellites puis de (gros) satellites. Sous la barre du kg, il est question de pico-satellites. Notez que les limites données ne sont pas strictes

Le nombre de nano- et micro-satellites est en pleine expansion avec des projets et objectifs variés. En particulier on voit se répandre aujourd’hui deux grandes idées : i) remplacer les satellites standards, notamment dans le domaine des télécommunications (e.g. le projet One Web), par des constellations de petits satellites et ii) lancer une exploration à grande échelle du système solaire en multipliant le nombre de sondes interplanétaires miniatures. La généralisation des nano- et micro-satellites devrait être à l’origine d’une véritable révolution dans le domaine de l’aérospatial. L’accès à l’espace va d’abord être facilité grâce à une baisse importante des coûts. La miniaturisation va de plus augmenter la flexibilité, permettre des scénarii des missions variés, maintenir un niveau de technologie élevé via un taux de remplacement élevé et diminuer les risques d’échec grâce à la redondance.

Cependant, afin d’assurer des missions complexes et longues, il devient nécessaire d’équiper les nano- et micro-satellites de systèmes propulsifs adaptés autorisant des manœuvres telles que les transferts d’orbites, la correction de trajectoire et la désorbitation en fin de vie. L’unité de base pour les nanosatellites, donc pour les CubeSats, est le « U » qui correspond à un cube de 10×10×10 cm3, soit 1 litre. Le volume et la masse étant très limités, la propulsion chimique n’est pas adaptée. Les propulseurs à gaz froids peuvent être employés mais cette solution n’est pas optimale. En conséquence, il est nécessaire d’équiper les nano- et micro-satellites de propulseurs électriques qui permettent grâce à une vitesse d’éjection de la masse d’appui élevée de réduire de façon significative la masse de carburant à embarquer.
Il y a deux stratégies et voies de recherches sur lesquelles travaillent plusieurs laboratoires, instituts et entreprises dans le monde pour répondre à ce besoin :
1) Développer de nouveaux concepts et ou faire évoluer des technologies existantes, par exemple les propulseurs à effet de champ (FEEP), les propulseurs à arc sous vide (VAT) et les propulseurs sans cathode (Helicon, ECR, moteur ionique RF),
2) Miniaturiser les technologies couramment embarquées sur les satellites de télécommunication, les satellites d’observations et les sondes scientifiques et ayant fait leurs preuves : il s’agit en particulier des propulseurs de Hall, des moteurs ioniques à grilles et des résistojets. Aux contraintes de masse et de taille, vient s’ajouter un problème de puissance disponible à bord. Sachant que le rayonnement solaire génère une puissance moyenne de 1350 W/m2 dans la haute atmosphère terrestre, un CubeSat 1U équipé de panneaux solaires produit donc environ 3 W lorsqu’il est éclairé sur une face. On doit de plus prendre en considération des contraintes thermiques et mécaniques. Le développement d’un système propulsif pour nano- et micro-satellites est donc extrêmement complexe.

L’article de Futura-Sciences traite de la micropropulsion et plus spécifiquement de la miniaturisation des propulseurs de Hall, un thème de recherche sur lequel mon équipe planche depuis plusieurs mois. L’article aborde aussi le concept de propulseur sans parois qui offre l’avantage d’être simple et compact et qui fonctionne à puissance continue (DC) ce qui ouvre la voie au mode direct drive, c’est à dire à une connexion directe entre les panneaux solaires et le propulseurs.
L’article mentionne aussi les défis scientifiques et technologiques liés aux neutraliseurs (sources d’électrons permettant la neutralisation du faisceau d’ions) et aux nouveaux carburants qui devront se stocker sous forme liquide ou solide.

(1) Je vous invite aussi à lire cet autre article de Rémy Decourt : Les satellites électriques, une solution d’avenir, sur le site Futura-Sciences.

Favicon

Le symbol Aleph-Zéro

Je viens – enfin – d’ajouter un Favicon à mot blog. Il s’agit d’une image qui caractérise un site et permet de l’identifier. J’ai naturellement choisi le symbol Aleph Zéro, qui est aussi le nom du site.

Aleph est la première lettre de l’alphabet hébreu et de l’alphabet arabe.
En mathématique, les alephs sont les cardinaux (taille ou nombre d’éléments) des ensembles infinis ordonnés. Aleph-zéro (ℵ0) est par définition le cardinal de l’ensemble des entiers naturels. Il s’agit du plus petit des nombres alephs. Les alephs font partie des nombres transfinis introduit par Georg Cantor. La théorie des ensembles définit une arithmétique des alephs ce qui peut surprendre puisqu’il s’agit d’effectuer des opérations avec des nombres infiniment grands. A bien des égards cette arithmétique diffère totalement de celle liée aux nombres naturels dont nous avons l’habitude. Pensez par exemple à l’équation ℵ0 × n = ℵ0, où n est un nombre naturel non nul. Cette équation se généralise à tous les alephs.

Pourquoi ai-je choisi d’intituler mon blog Aleph-Zéro ?
Parce que ces nombres me fascinent depuis que je les ai découverts en classe de terminale. Notre professeur de mathématiques nous en avait parlé alors que nous travaillions sur les cardinaux en théorie des probabilités. J’ai ensuite lu plusieurs ouvrage qui abordaient le sujet. Ces nombres et les opérations qui leurs sont associées représentent une magnifique construction intellectuelle. Les alephs symbolisent à mes yeux l’inouïe capacité de notre cerveau et le haut degré d’abstraction que notre civilisation peut atteindre. Ces nombres révèlent aussi la beauté des mathématiques.

Raz de marée

On a tout écrit, tout dit depuis dimanche soir. Ce n’est pas la peine d’épiloguer. En résumé, c’est un raz de marée. J’applaudis. E. M. devrait obtenir une très large majorité à l’Assemblée Nationale dimanche prochain. La République En Marche va ainsi pouvoir mettre en action sa politique, sa vision. J’aurais attendu plus de vingt-cinq ans pour voir les idées et les valeurs que je défends mises en œuvre.  Combien de fois ai-je entendu « Le Centre, ça ne peut pas marcher, c’est Gauche ou Droite (comprenez socialiste versus capitaliste) » ? J’ai arrêté de compter depuis bien longtemps. Soyons enfin lucides, les clivages stériles ne mènent nul part. Il suffit de regarder l’état de la France, et plus globalement celui du monde actuel. Il est grand temps de tourner la page, de rejoindre la modernité et de préparer l’avenir.

Le PS semble définitivement mort cette fois. Il faut vivre avec son temps, s’adapter à son époque. Le modèle proposé n’est simplement plus viable. LR sont à l’agonie. Et mauvais perdants pour beaucoup d’entre eux. Les extrêmes moribonds, je ne m’en plains pas.

Ces dernières élections révèlent un profond besoin de changement. Une nouvelle génération va prendre les commandes. La mienne. Elle ne rejète pas la mondialisation, elle est ancrée dans l’ère du digital, consciente des bouleversements et défis à venir (énergie, environnement, climat, numérique) et profondément humaniste. Elle a compris depuis longtemps que l’humanité doit changer de cap. Une France portée par ce vent nouveau a tout à gagner . L’Europe aussi.

En aparté. Que penser du très fort niveau d’abstention ? Les Français vivent dans le confort mais ils ne s’en aperçoivent pas. Ils ont oublié d’où ils viennent et les combats menés par leurs aïeuls et leurs ancêtres. Ils ne voient pas non plus les risques encourus. C’est triste, décevant. Les français sont en majorité resté chez eux, mais une chose est certaine, ils vont continuer à se plaindre et à critiquer.

L’Amérique de Trump se désengage

Donald Trump a finalement choisi de faire sortir les Etats-Unis d’Amérique des Accords de Paris sur le climat signés il y a un an. On pouvait s’y attendre. Cet homme suit une logique implacable qu’il avait clairement annoncée au cours de la campagne présidentielle. Il veut détruire tout ce que Barack Obama, son prédécesseur à la Maison Blanche, et les démocrates avaient construit et mis en place, pour soi-disant rendre à l’Amérique sa grandeur et son autonomie. Alors que le 44ème Président avait lutté pour réduire les inégalités au sein du peuple américain, le 45ème va creuser les écarts et rendre ainsi les pauvres encore plus pauvres et les riches encore plus riches et puissants.

En optant pour le retrait, Donald Trump isole encore d’avantage son pays sur la scène internationale et irrite une fois de plus de nombreux chefs d’état. Heureusement, plusieurs villes, dont Pittsburgh, et entreprises et sans doute plusieurs états iront à l’encontre de la décision du Président, préférant regarder vers l’avenir et protéger la planète. Le message envoyé à Trump par l’ex gouverneur de la Californie, Arnold Schwarzenegger, est un bel exemple de résistance et de réalisme.

Les choix de Donald Trump sont à mes yeux une aubaine pour l’Europe, la Chine et d’autres pays. DT a décidé de saborder le navire Amérique, profitons de ce choix stupide. Pour l’Europe c’est une chance, surtout avec un axe Paris-Berlin renforcé, l’Angleterre qui se décide enfin, l’Espagne et l’Italie sur la bonne voie et des petits pays dynamiques. Il est temps de se libérer de la trop forte influence américaine, de prendre en main notre destin politique et économique et de proposer aux autres une vision différente plus égalitaire, moins brutale, plus respectueuse de l’homme et de son environnement.