Somme des entiers positif = -1/12 (Crédit : Elwood H. Smith)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +… = -1/12
La somme de tous les entiers positifs serait égale à un nombre rationnel, i.e. une fraction, relativement petit (1/12 ≈ 0.083) et négatif en plus. Alors, vrai ou faux ?
C’est faux naturellement. La somme de tous les entiers positifs, ou la somme des entiers naturels, tends vers l’infini, noté +∞ en mathématique. Alors pourquoi avoir écrit une telle égalité en première ligne de cette article ? Et puis pourquoi -1/12 et pas 51, ou 1038 ou -99 ou 6.3952 ou π ou 
D’abord pour vous faire réagir, chers lecteurs. Un article traitant de cette somme a été publié sur le site du NewYork Times en février 2014 : In the End, It All Adds Up to – 1/12. Il avait suscité près d’un million et demi de commentaires, ce qui prouve que le sujet et les découvertes déconcertantes qui lui sont liées intéressent et force à l’interrogation. Réjouissons-nous que les mathématiques attirent et fassent réfléchir.
Ensuite, car de très grands mathématiciens tels que Leonhard Euler, Bernhard Rieman et Srinivasa Ramanujan ont travaillé sur cette somme. Cela démontre que le sujet est ancien mais également complexe. On découvre aussi que la manipulation de certains outils et techniques peut conduire à des résultats tout à fait inattendus et déroutants.
Enfin, et c’est sans doute le point le plus important, la réponse à la question posée nécessite des calculs à l’aide de séries et de polynômes et le traitement de quantités infinies ou presque nulle. De tels calculs s’avèrent en fait très utiles en physique, notamment en mécanique quantique et en théorie des champs. On peut citer par exemple la renormalisation. Il s’agit d’une méthode permettant de supprimer les infinis qui apparaissent lors du calcul de certaines observables physiques, comme la masse des particules. Cette approche permet de prédire les résultats expérimentaux avec une excellente précision. Beaucoup de physiciens ont été déroutés par cette technique un peu magique.
Pour en savoir plus sur la somme des entiers naturels, je vous conseille la lecture de l’article de Xavier Buff sur le site Images des Mathématiques. Il existe aussi une multitude d’article sur Internet traitant du sujet.
Allons allons tout cela est à la portée d’un enfant un peu joueur (pas polyvacciné contre tout et n’importe quoi et pas imbibé d’aluminium et de mercure) comme l’était Euler qui n’avait pas peur de penser en toute liberté sans craindre qu’on lui fasse les gros yeux.
Tout d’abord Euler s’était amusé à se convaincre que 1 -1 + 1 -1 +1 – 1 … pouvait très bien être égal à 1/2 .
Stéphane Mazouffre va-t-il réussir à se glisser dans la peau d’Euler et nous donner cette démonstration enfantine ?
Il s’agit de trouver la limite de la série s=(-1)^n où n est un entier positif avec -1^0 = 1. En fait cette série est divergente. Mais le traitement des séries divergentes, qui n’a rien d’enfantin, permet d’arriver à des résultats surprenants. On peut trouver s=0, ou s=1 mais aussi en effet s=1/2 en jouant sur la traitement local qui s’opère grâce à des parenthèses. Par exemple s = (1-1) + (1-1) + … = 0 et s = 1 – (1-1) – (1-1) – … = 1. Trouver 1/2 est plus subtil. Il faut placer les parenthèses de la façon suivante : s = 1 – (1-1+1-1+1-…). Il existe des méthodes plus spohistiquées de sommation.
Trouver s=1/2 est immédiat pour un enfant une fois qu’un mode de sommation lui a donné s=0 et un autre s=1 : il lui suffit de sommer ces deux s pour obtenir 2s=1+0=1 et donc s=1/2.
Stéphane vous n’étiez pas loin ! Nul besoin de théorie sophistiquée ici, simplement le parti pris de se laisser aller à explorer en manipulant les signes …. C’est ainsi que Euler procédait.
Maintenant Stéphane pourriez vous nous montrer quasi visuellement que :
1 – 2 + 3 – 4+ … = 1/4