Equation de Tsiolkovsky

L’année 2012 va se terminer dans quelques heures en France.
Ce fut une belle année pour moi, l’une des plus belle de ma vie, puisque mon fils Paco est né le 27 mars dernier. Merveilleux moment. Inoubliable. Et depuis je suis comblé chaque jour en regardant ce petit bonhomme grandir et faire sa place dans notre monde.

Pour clore cette année sur mon Blog, je propose un court article (le 451ème) sur l’équation de Tsiolkovsky. J’ai réalisé que si j’ai souvent cité cette équation célèbre en propulsion spatiale, je ne l’ai jamais écrite, ce qui a pu troubler les lecteurs non-spécialistes du domaine.
Cette équation relie l’incrément de vitesse d’un véhicule spatial à la vitesse d’éjection de l’ergol par le propulseur. Elle fût établie au début du XXème siècle par le physicien russe Konstantin Tsiolkovsky. Elle s’obtient à partir de la conservation de la quantité de mouvement ou de la seconde loi de Newton dans le cas d’une masse variable (la formule classique $F_{ext} = m\,\frac{dv}{dt}$ bien connue de tous n’est valide que dans le cas où la masse est constante). La démonstration rigoureuse (que je présente dans mon cours) est assez longue et n’a pas d’intérêt ici. Vous trouverez des démonstrations simples sur les sites Wikipedia (version anglaise) et WolframAlpha.
Venons-en au fait. L’équation de Tsiolkovsky (The rocket equation pour les américains) se formule dans le cas où il n’y a pas de force extérieure :

$\Delta v = v_e\,Ln \left( \frac{m_0}{m_f} \right),$

ou $\Delta v$ est l’incrément de vitesse ( $v_{finale} - v_{initiale}$ ), $v_e$ la vitesse d’éjection de la matière par le propulseur, $m_0$ la masse initiale du véhicule et $m_f$ la masse finale = $m_0 - m_e$ avec $m_e$ la masse embarquée d’ergol.
Voilà. Tout est écrit. Cette équation si simple en apparence ⁽¹⁾ gouverne l’ensemble des missions et manoeuvres spatiales. C’est elle qui nous dit que sans une véritable révolution scientifique, l’Homme est confiné à la banlieue terrestre. Sur cette phrase propre à la méditation, je vous laisse en vous souhaitant une très bonne année 2013.

(1) L’équation de Tsiolkovsky doit être modifiée lorsque la source d’énergie est externe (cas de la propulsion électrique et de la propulsion nucléaire) pour prendre en compte la masse de l’alimentation.

Post-Scriptum : Je peux désormais utiliser la syntaxe LaTex pour écrire des équations sous l’éditeur WordPress. Je viens d’installer le plug-in WP LaTex qui fonctionne à merveille. Cela me permettra dans mes prochains articles d’introduire des formules et relations lorsque nécessaire.

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